Aplikasi Interaktif: Solusi Cerdas Penalaran Pecahan

Selamat datang di modul interaktif "Mastering Matematika". Aplikasi ini dirancang khusus untuk membantu siswa SMP memahami konsep-konsep kompleks dalam bilangan real, khususnya masalah penalaran tingkat tinggi (L3) yang sering muncul dalam ujian sekolah maupun olimpiade. Melalui pendekatan visual dan bertahap, Anda akan dipandu untuk menguasai logika pecahan secara mendalam.

Di dalam aplikasi ini, Anda dapat menjelajahi dasar teori yang krusial, mempelajari pembahasan soal secara langkah demi langkah (step-by-step), hingga menguji kemampuan Anda melalui fitur kuis interaktif. Mari mulai perjalanan belajar Anda dan jadilah ahli dalam memecahkan masalah matematika yang paling menantang sekalipun!

Tutorial Penalaran Matematika SMP

Mastering Matematika SMP

Topik: Bilangan Real (Penalaran L3)

📚 Dasar Teori & Contoh

1. Operasi Penjumlahan Pecahan

Konsep: Menyamakan penyebut menggunakan KPK.

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}

Contoh Sederhana:

Berapa hasil dari $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$?

Jawab: $\frac{1 \times 3 + 1 \times 2}{2 \times 3} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$

2. Logika Sisa (Complement)

Konsep: Jika sebagian diambil, berapa yang tersisa?

\text{Sisa} = 1 - \text{Bagian Terpakai}

Contoh Sederhana:

Sebuah kue dimakan $\frac{3}{8}$ bagian. Berapa sisa kue tersebut?

Jawab: $1 - \frac{3}{8} = \frac{8}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ bagian.

3. Perkalian Pecahan Bertingkat

Konsep: Mencari bagian dari "sisa".

Contoh Sederhana:

Gaji Budi disisihkan $\frac{1}{2}$ untuk ditabung. Dari **sisa** tabungan tersebut, $\frac{1}{4}$ digunakan untuk amal. Berapa bagian untuk amal dari gaji total?

Jawab: $\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ bagian total.

Soal 1: Kapasitas Bak Mandi

Bak mandi Pak Budi mula-mula terisi $\frac{1}{4}$ bagian, kemudian ditambahkan air lagi sebanyak $\frac{1}{3}$ bagian dari kapasitas totalnya. Jika air tersebut digunakan mandi sebanyak $\frac{3}{7}$ dari total air yang ada saat itu dan menyisakan air sebanyak $80$ liter, tentukan kapasitas total ($C$) bak mandi tersebut!

Langkah 1: Menggabungkan Air

Kita jumlahkan dulu isi awal ($\frac{1}{4}$) dengan tambahan air ($\frac{1}{3}$). Bayangkan bak mandi dibagi menjadi 12 bagian (KPK dari 4 dan 3).

$$T = \frac{1}{4}C + \frac{1}{3}C = \left(\frac{3}{12} + \frac{4}{12}\right)C = \frac{7}{12}C$$ Artinya: Sekarang ada 7 bagian air dari 12 bagian kapasitas bak.

Langkah 2: Menghitung Sisa Setelah Mandi

Karena air digunakan mandi sebanyak $\frac{3}{7}$, maka sisa airnya adalah $\frac{4}{7}$ (yaitu $1 - \frac{3}{7}$) dari jumlah air yang tadi sudah digabungkan ($T$).

$$\text{Sisa} = \frac{4}{7} \times T = \frac{4}{7} \times \frac{7}{12}C = \frac{4}{12}C = \frac{1}{3}C$$ Tips: Angka 7 bisa dicoret dalam perkalian pecahan di atas!

Langkah 3: Menentukan Kapasitas Total

Kita tahu sisa airnya adalah 80 liter, dan secara pecahan sisanya adalah $\frac{1}{3}$ dari total ($C$).

$$\frac{1}{3}C = 80 \implies C = 80 \times 3 = 240$$ Logika: Jika sepertiga bagian saja 80 liter, maka tiga pertiga (penuh) adalah 240 liter.

Jawaban Akhir

240 LITER

Soal 2: Modal Usaha

Modal digunakan $\frac{2}{5}$ bagian. Lalu digunakan $\frac{1}{4}$ dari sisa modal. Sisa akhir $\text{Rp}4.500.000,00$. Hitung modal awal $M$.

Langkah 1: Sisa Setelah Pemakaian Pertama

Jika $\frac{2}{5}$ bagian modal dipakai, maka uang yang masih ada (sisa) adalah:

S_1 = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \text{ bagian dari modal awal } (M)

Langkah 2: Sisa Setelah Pemakaian Kedua

Pemakaian kedua adalah $\frac{1}{4}$ dari sisa pertama. Berarti sisanya sekarang adalah $\frac{3}{4}$ ($1 - \frac{1}{4}$) dari sisa pertama.

$$S_{\text{akhir}} = \frac{3}{4} \times S_1 = \frac{3}{4} \times \frac{3}{5}M = \frac{9}{20}M$$ Ingat: Dalam perkalian pecahan, atas dikali atas, bawah dikali bawah.

Langkah 3: Menghitung Nilai Uang

Diketahui uang yang tersisa adalah 4,5 juta rupiah. Kita cari modal totalnya:

$$\frac{9}{20}M = 4.500.000 \implies M = 4.500.000 \times \frac{20}{9}$$ Cara cepat: 4.500.000 dibagi 9 adalah 500.000, lalu dikali 20.

Modal Awal

Rp10.000.000,00

Soal 3: Tangki Bahan Bakar

Tangki mula-mula berisi $\frac{1}{2}$ bagian. Ditambah $9$ liter menjadi $\frac{4}{5}$ bagian. Digunakan $\frac{1}{3}$ bagian bensin. Berapa sisa akhir?

Langkah 1: Mencari Kapasitas Total ($K$)

Selisih antara $\frac{4}{5}$ bagian dan $\frac{1}{2}$ bagian adalah 9 liter. Kita samakan penyebut menjadi 10.

\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}$$ $$\frac{3}{10}K = 9 \implies K = 9 \times \frac{10}{3} = 30 \text{ liter}

Langkah 2: Isi Tangki Sebelum Digunakan

Tadi tangki terisi $\frac{4}{5}$ bagian setelah ditambah 9 liter. Mari kita hitung berapa liter itu:

V_{\text{isi}} = \frac{4}{5} \times 30 = 24 \text{ liter}

Langkah 3: Menghitung Sisa Akhir

Bensin yang ada (24 liter) dipakai $\frac{1}{3}$ bagian. Berarti sisanya adalah $\frac{2}{3}$ bagian.

$$\text{Sisa} = \frac{2}{3} \times 24 = 16 \text{ liter}$$ Ingat: Kita mencari bagian dari air yang ada, bukan dari kapasitas tangki penuh.

Volume Akhir

16 LITER

Uji Pemahaman Pecahan L3

Soal 1/5

Aplikasi Interaktif: Solusi Cerdas Penalaran Pecahan